五年级奥数题及答案：质数、合数和分解质因数问题6

概要：导读：奥数教学不能单纯是传授数学知识，更重要的是培养学生数学意识、数学思想、独立获得和运用数学知识的能力和良好的数学学习习惯的过程。让学生具备在未来的工作中科学地提出数学问题、探索数学问题、创造性地解决数学问题的能力。www.kgf8.com为大家准备了小学五年级奥数题，希望小编整理的五年级奥数题及参考答案：质数、合数和分解质因数问题6，可以帮助到你们，助您快速通往高分之路!! 例8 一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。 分析∵a与1080的乘积是一个完全平方数，∴乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数。解：∵1080×a=23×33×5×a，又∵1080=23×33×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，∴a必含质因数2、3、5，因此a最小为2×3×5。∴1080×a＝1080×2×3×5＝1080×30＝32400

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　　导读：奥数教学不能单纯是传授数学知识，更重要的是培养学生数学意识、数学思想、独立获得和运用数学知识的能力和良好的数学学习习惯的过程。让学生具备在未来的工作中科学地提出数学问题、探索数学问题、创造性地解决数学问题的能力。www.kgf8.com为大家准备了小学五年级奥数题，希望小编整理的五年级奥数题及参考答案：质数、合数和分解质因数问题6，可以帮助到你们，助您快速通往高分之路!!

    例8 一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。

    分析 ∵a与1080的乘积是一个完全平方数，

　　∴乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数。

　　解：∵1080×a=2³×3³×5×a，

　　又∵1080=2³×3³×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，

　　∴a必含质因数2、3、5，因此a最小为2×3×5。

　　∴1080×a＝1080×2×3×5＝1080×30＝32400。

　　答：a的最小值为30，这个完全平方数是32400。

    例9 问360共有多少个约数？

    分析 360=2³×3²×5。

　　为了求360有多少个约数，我们先来看3²×5有多少个约数，然后再把所有这些约数分别乘以1、2、2²、2³，即得到2³×3²×5（=360）的所有约数.为了求3²×5有多少个约数，可以先求出5有多少个约数，然后再把这些约数分别乘以1、3、3²，即得到3²×5的所有约数。

　　解：记5的约数个数为Y₁，

　　3²×5的约数个数为Y₂，

　　360（=2³×3²×5）的约数个数为Y₃.由上面的分析可知：

　　Y₃=4×Y₂，Y₂＝3×Y₁，

　　显然Y₁=2（5只有1和5两个约数）。

　　因此Y₃＝4×Y₂=4×3×Y₁=4×3×2=24。

　　所以360共有24个约数。

　　说明：Y₃=4×Y₂中的“4”即为“1、2、2²、2³”中数的个数，也就是其中2的最大指数加1，也就是360＝2³×3²×5中质因数2的个数加1；Y₂=3×Y₁中的“3”即为“1、3、3²”中数的个数，也就是2³×3²×5中质因数3的个数加1；而Y₁=2中的“2”即为“1、5”中数的个数，即2³×3²×5中质因数5的个数加1.因此

　　Y₃＝（3＋1）×（2+1）×（1+1）=24。

　　对于任何一个合数，用类似于对2³×3²×5（=360）的约数个数的讨论方式，我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论：

　　一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加1的连乘的积。

    例10 求240的约数的个数。

 　　解：∵240＝2⁴×3¹×5¹，

　　∴240的约数的个数是

　　（4＋1）×（1+1）×（1＋1）=20，

　　∴240有20个约数。

　　请你列举一下240的所有约数，再数一数，看一看是否是20个？

    例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.

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