因式分解的方法

概要：因式分解的方法：因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法，剩余定理法等。一、基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式，多项式的次数取最低的。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c);a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。注意：把2a2+1/2变成2(a2+1/4)不叫提公因式⑵公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。平方差公式

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　　因式分解的方法：因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法，剩余定理法等。

　　一、基本方法

　　⑴提公因式法

　　各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

　　如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

　　具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

　　如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

　　例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c);

　　a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

　　注意：把2a2+1/2变成2(a2+1/4)不叫提公因式

　　⑵公式法

　　如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

　　平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b);

　　完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b) 2;

　　注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

　　立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);

　　立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);

　　完全立方公式：a 3±3a2b+3ab2±b 3=(a±b) 3。

　　例如：a2 +4ab+4b2 =(a+2b) 2。

　　二、竞赛用到的方法

　　⑶分组分解法

　　分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。

　　能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。

　　比如：

　　ax+ay+bx+by

　　=a(x+y)+b(x+y)

　　=(a+b)(x+y)

　　我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。

　　同样，这道题也可以这样做。

　　ax+ay+bx+by

　　=x(a+b)+y(a+b)

　　=(a+b)(x+y)

　　几道例题：

　　1. 5ax+5bx+3ay+3by

　　解法：=5x(a+b)+3y(a+b)

　　=(5x+3y)(a+b)

　　说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。

　　2. x3-x2+x-1

　　解法：=(x3-x2)+(x-1)

　　=x2 (x-1)+(x-1)

　　=(x-1)(x2+1)

　　利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合轻松解决。

　　3. x2-x-y2-y

　　解法：x2-x-y2-y =(x2-y2)-(x+y)

　　=(x+y)(x-y)-(x+y)

　　=(x+y)(x-y-1)

　　利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。

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