几何的三大问题

概要：平面几何作图限制只能用直尺、圆规，而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。用直尺与圆规当然可以做出许多种之图形，但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来。有些问题看起来好像很简单，但真正做出来却很困难，这些问题之中最有名的就是所谓的三大问题。几何三大问题是:1.化圆为方──求作──正方形使其面积等於──已知圆；2.三等分任意角；3.倍立方──求作──立方体使其体积是──已知立方体的二倍。圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作──个正方形和已知圆等面积呢？若已知圆的半径为1则其面积为π（1）2=π，所以化圆为方的问题等於去求──正方形其面积为π，也就是用尺规做出长度为π1/2的线段（或者是π的线段）。三大问题的第二个是三等分──个角的问题。对於某些角如90。、180。三等分并不难，但是否所有角都可以三等分呢？例如60。，若能三等分则可以做出20。的角，那麽正18边形及正九边形也都可以做出来了（注：圆内接──正十八边形每──边所对的圆周角为360。/18=20。）。其实三等分角的问题是由求作正多边形这──类问题所引起来的。第三个问题是倍

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　　平面几何作图限制只能用直尺、圆规，而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。用直尺与圆规当然可以做出许多种之图形，但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来。有些问题看起来好像很简单，但真正做出来却很困难，这些问题之中最有名的就是所谓的三大问题。 　　
　　几何三大问题是: 　　
　　1.化圆为方──求作──正方形使其面积等於──已知圆； 　　
　　2.三等分任意角； 　　
　　3.倍立方──求作──立方体使其体积是──已知立方体的二倍。 　　
　　圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作──个正方形和已知圆等面积呢？若已知圆的半径为1则其面积为π（1）2=π，所以化圆为方的问题等於去求──正方形其面积为π，也就是用尺规做出长度为π1/2的线段（或者是π的线段）。 　　
　　三大问题的第二个是三等分──个角的问题。对於某些角如90。、180。三等分并不难，但是否所有角都可以三等分呢？例如60。，若能三等分则可以做出20。的角，那麽正18边形及正九边形也都可以做出来了（注：圆内接──正十八边形每──边所对的圆周角为360。/18=20。）。其实三等分角的问题是由求作正多边形这──类问题所引起来的。 　　
　　第三个问题是倍立方·埃拉托塞尼（公元前276年~公元前195年）曾经记述──个神话提到说有──个先知者得到神谕必须将立方形的祭坛的体积加倍，有人主张将每边长加倍，但我们都知道那是错误的，因为体积已经变成原来的8倍。 　　
　　这些问题困扰数学家──千多年都不得其解，而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。 　　
　　1637年笛卡儿创建解析几何以後，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。1837年旺策尔（Wantzel）给出三等分任──角及倍立方不可能用尺规作图的证明。1882年林得曼（Linderman）也证明了π的超越性（即π不为任何整数系数多次式的根），化圆为方的不可能性也得以确立。

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