概要：这样的例子可以举很多。我们发现，如果坚持“整体大于部分”的话，固然可以使得某些集合和自己的子集相比较时，比如比较自然数和正偶数的个数时，符合“直观”和“常识”。但是更多的非常直观的东西和常识却都会变成错误的。比如说，x'=x+1这样一个数轴上的坐标平移，会将坐标上的点集{1,2,3……｝变为{2,3,4……｝，一个坐标平移居然可以变动点集中元素的个数!“元素可以一一对应的两个集合大小相同”这条原理的失效，会使得我们在比较两个元素很不相同的集合时无所适从：怎样不使用一一对应的方法来比较自然数和数轴上(0,1)区间中点的个数?在上面的两个例子中我们会有这样的感觉，对于无限集合来说，从部分中似乎可以“产生”出整体来。比如射线上的每隔一厘米画一个点的例子，如果我们把不是10的倍数的点去掉，然后将平面“收缩”到原来尺度的十分之一，我们就重新得到了原来的那个点集。在装豆子的
集合大小定义的基本要求,标签：高一数学学习指导大全,高中数学学习方法,http://www.kgf8.com这样的例子可以举很多。我们发现，如果坚持“整体大于部分”的话，固然可以使得某些集合和自己的子集相比较时，比如比较自然数和正偶数的个数时，符合“直观”和“常识”。但是更多的非常直观的东西和常识却都会变成错误的。比如说，x'=x+1这样一个数轴上的坐标平移，会将坐标上的点集{1,2,3……｝变为{2,3,4……｝，一个坐标平移居然可以变动点集中元素的个数!“元素可以一一对应的两个集合大小相同”这条原理的失效，会使得我们在比较两个元素很不相同的集合时无所适从：怎样不使用一一对应的方法来比较自然数和数轴上(0,1)区间中点的个数?
在上面的两个例子中我们会有这样的感觉，对于无限集合来说，从部分中似乎可以“产生”出整体来。比如射线上的每隔一厘米画一个点的例子，如果我们把不是10的倍数的点去掉，然后将平面“收缩”到原来尺度的十分之一，我们就重新得到了原来的那个点集。在装豆子的口袋的例子中，只要从去掉1号口袋后剩下的那些袋子中拿去一粒豆子，我们就又得到了原来的那个大口袋。这暗示了无限集合的一个重要特点：从某种意义上来说，它和自己的一部分相似。事实上，无限集合的一个定义就是“能和自己的一部分一一对应的集合”。所以在无限集合大小的比较中，违反了“整体大于部分”的原则并不奇怪，因为这恰好就是无限集合的特征。
如果使用一一对应的比较方法，我们发现它满足所有第二节中提出的关于集合大小定义的要求。而且除了“整体大于部分”这个我们已经解释过的不适用的原则外，不违反其他的直觉和常识。事实上用一一对应的方法来比较两个集合的大小，也是非常符合直观的。如果有两盒火柴，我们想比较哪盒中的火柴数量更多，我们大可不必去数出每盒中火柴的数量，那样很容易出错。其实只要从不断地从两盒火柴中拿掉相同数量的火柴，最后如果同时两盒都不剩下火柴，那么就说明数量一样多，否则就是还剩有火柴的那盒比较多。
而更重要的是，这样的定义非常有用。康托尔在提出他关于集合的基数理论后，非常简洁地证明了“几乎所有实数都是超越数”，而那个时候数学家连一个超越数的实例都还没有找到!引起第三次数学革命的罗素悖论也是从基数理论中产生出来的。虽然集合的基数理论现在已经为一般的数学系学生和许多数学爱好者所熟悉，数学家们还是能从中找到非常有趣和深奥的课题，比如说“超大集合理论”，这是关于一些基数大得匪夷所思的集合的理论。我们知道对于任何一个集合A，它的幂集P(A)(也就是它所有子集构成的集合)一定比它本身大，所以我们可以构造一系列的集合A，P(A)，P(P(A))……一个比一个大，所以没有最大的集合。而“超大集合理论”声称，存在一个集合B，比前面这一系列集合中的每个都要大!
所以说，使用一一对应原则来定义集合大小，是数学家迫不得已和最佳的选择。 www.kgf8.com 直觉的合理性和数学结构
在文章的最前面我们提到过，从直觉上说来，自然数的个数应该是正偶数的两倍，这里难道没有一点合理的因素在内吗?有时我们会听到数学家说：“几乎所有的自然数都不是素数。
”如果按照一一对应的原则，素数和自然数是一样多的(第一个素数2对应1，第二个素数3对应2，第三个素数5对应3，……第n个素数对应n，……)，这不矛盾吗?
数学并不依赖于直觉，但是尊重直觉，直觉中常常包含着合理的因素。受过数学训练的人对数学的直觉一般来说要比其他人更有合理性，数学大师能够用直觉把握住很深刻的数学理论，他们有时会说：“虽然我还没有一个严格证明，但是我知道它是对的。”数学大师的直觉当然不是每个人能模仿的，但是我们的确可以改变对一些数学物体的想像方法，来改善自己的直觉，使得它更有合理性。
当我们谈到集合的大小，这里所谈论的集合应该是没有附加的数学结构的。当所比较的集合都是自然数的子集时，直觉往往会偷偷地把自然数的数学结构加在上面。什么是数学结构?让我们先从最一般的集合说起。当我们谈论集合时，我们只应该把它看做一个装着元素的大袋子，里面的元素之间没有任何联系，比如说自然数集合，我们应该想像那是一个装了标了号的球(或者其他什么)的大袋子，球和球之间并没有什么联系，10并不一定非得在100的前面出现，如果你把口袋使劲抖抖，里面的球有些翻上来有些被压到底下去，但这并不改变这个集合——这仍然是自然数集合。
所谓的结构，就是在元素间增加联系，使得它们不能随便乱动。建筑工地上搭的脚手架就是一种结构，上面的钢管啊铁丝啊木板啊都不是随随便便堆在一起的，而是按照一定的方式联系在一起。修建完了一幢大楼后，工人们会把它们都拆下来再拿到另一个工地上去安装使用，虽然构成脚手架的元素——钢管铁丝木板还是原来的那些，但是脚手架却完全是另一个了，变化了的其实是结构。
数学结构也一样。比如说上面我们讲的序关系，就是元素之间的一种联系。我们可以很方便地验证自然数的大小满足我们前面所说的偏序关系的三个条件，而且每两个自然数之间都可以比较大小，所以在自然数集合上有一个全序关系，这个关系就给了自然数集合一个结构，就叫序结构。你可以把拥有全序结构的自然数集合仍旧想像成上面那个装了球的袋子，只是这时候那些球已经被从小到大串成了一串，不能随便乱跑了。平时我们想像自然数集合，可能会把它想成数轴上离原点越来越远的一串点，或者1、2、3、……这样从小到大的一列数，不知不觉地，我们已经把序结构想像进去了。当我们感到“正偶数的个数应该是自然数个数的一半，因为每隔一个数就有一个是偶数”，我们是在想像那条串成一串的球，偶数球得老老实实地和奇数球一个隔一个地串在一起，而不是杂乱无章放在袋里，后面这种情况是谈不上“每隔一个”的。 www.kgf8.com 在考虑到自然数的序结构后，我们就可以给“自然数的个数是正偶数的个数的两倍”这种直觉一个合理的解释了。考虑小于100的正偶数，一共有49个，所以占小于100的自然数的49/99，接近1/2;如果把“小于100”改成“小于1000”，那么结果是499/999，更接近1/2了;把上面的100和1000换成越来越大的数字，我们会发现正偶数所占的比例会越来越接近1/2。这就提示我们可以采用这样一种关于自然数的子集的大小的定义：如果A是自然数的一个子集，令p(n)为A中小于n的元素的个数，我们称limn→∞p(n)/n(就是当n趋向无穷大时，p(n)/n的极限)为A相对于自然数集合的大小。在这个定义下，正偶数集合相对于自然数集合的大小就是1/2。按照这样的定义，素数集合相对于自然数集合的大小是0，这也就是所谓的“几乎所有的自然数都不是素数”。用上面这个方法还可以比较两个自然数集合的子集的相对大小，具体方法就由读者自己来思考了。
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