理解"充要条件"具体概念

概要： “充要条件”是数学中极其重要的一个概念。 （1）先看“充分条件和必要条件” 当命题“若p则q”为真时，可表示为p => q，则我们称p为q的充分条件，q是p的必要条件。这里由p => q，得出p为q的充分条件是容易理解的。 但为什么说q是p的必要条件呢？ 事实上，与“p => q”等价的逆否命题是“非q => 非p”。它的意思是：若q不成立，则p一定不成立。这就是说，q对于p是必不可少的，因而是必要的。 （2）再看“充要条件” 若有p =>q，同时q => p，则p既是q的充分条件，又是必要条件。简称为p是q的充要条件。记作p<=>q 回忆一下初中学过的“等价于”这一概念；如果从命题A成立可以推出命题B成立，反过来，从命题B成立也可以推出命题A成立，那么称A等价于B，记作A<=>B.&ldqu

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    “充要条件”是数学中极其重要的一个概念。

    （1）先看“充分条件和必要条件”

    当命题“若p则q”为真时，可表示为p => q，则我们称p为q的充分条件，q是p的必要条件。这里由p => q，得出p为q的充分条件是容易理解的。

    但为什么说q是p的必要条件呢？

    事实上，与“p => q”等价的逆否命题是“非q => 非p”。它的意思是：若q不成立，则p一定不成立。这就是说，q对于p是必不可少的，因而是必要的。

    （2）再看“充要条件”

    若有p =>q，同时q => p，则p既是q的充分条件，又是必要条件。简称为p是q的充要条件。记作p<=>q

    回忆一下初中学过的“等价于”这一概念；如果从命题A成立可以推出命题B成立，反过来，从命题B成立也可以推出命题A成立，那么称A等价于B，记作A<=>B.“充要条件”的含义，实际上与“等价于”的含义完全相同。也就是说，如果命题A等价于命题B，那么我们说命题A成立的充要条件是命题B成立；同时有命题B成立的充要条件是命题A成立。

    （3）定义与充要条件

    数学中，只有A是B的充要条件时，才用A去定义B，因此每个定义中都包含一个充要条件。如“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”这一定义就是说，一个四边形为平行四边形的充要条件是它的两组对边分别平行。

    显然，一个定理如果有逆定理，那么定理、逆定理合在一起，可以用一个含有充要条件的语句来表示。

    “充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”。“仅当”表示“必要”。

    （4）一般地，定义中的条件都是充要条件，判定定理中的条件都是充分条件，性质定理中的“结论”都可作为必要条件。

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