中学趣味数学:戴安娜的妹妹

概要： 戴安娜和母亲一起上街为她妹妹的生日聚会购买糖果和小礼品。黛安娜的母亲专买小礼品，而黛安娜专买糖果。关于她买糖果的数量和所买小礼品的数量，以及她们所花的钱款，情况如下：(1)黛安娜身上只带了十三枚硬币，而且里面只有三种：1美分、5美分和25美分。她把它们全部用来买了糖果。（2）她为奥尔西娅买的糖果每块2美分，她为布莱思买的糖果每块3美分，她为卡丽买的糖果每块6美分。（3）她为这三个女孩买的糖果块数各不相同，而且都不止一块。（4）有两种糖果她所付的钱款相同。（5）她母亲买了一些小礼品，每件小礼品的单价都一样。母亲总共花了4.80美元。（6）黛安娜所买糖果的块数同她母亲所买纪念品的件数相等。（7）黛安娜给她妹妹买的糖果块数最多。三个女孩中，谁是黛安娜的妹妹？（提示：根据(1)、(2)、(5)、(6)可列出五个方程。根据(4)所列出的三个方程，只有一个是正确的。在这些方程中各个量的和与积是奇数还是偶数，应予考虑。）答案设P=黛安娜所带的1美分硬币和枚数，N=黛安娜所带的5美分硬币和枚数，Q=黛安娜所带的25美分硬币和枚数，T=黛安娜为买糖果所花的总钱数(以美分为单位

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    戴安娜和母亲一起上街为她妹妹的生日聚会购买糖果和小礼品。黛安娜的母亲专买小礼品，而黛安娜专买糖果。关于她买糖果的数量和所买小礼品的数量，以及她们所花的钱款，情况如下：

　　(1)黛安娜身上只带了十三枚硬币，而且里面只有三种：1美分、5美分和25美分。她把它们全部用来买了糖果。

　　（2）她为奥尔西娅买的糖果每块2美分，她为布莱思买的糖果每块3美分，她为卡丽买的糖果每块6美分。

　　（3）她为这三个女孩买的糖果块数各不相同，而且都不止一块。

　　（4）有两种糖果她所付的钱款相同。

　　（5）她母亲买了一些小礼品，每件小礼品的单价都一样。母亲总共花了4.80美元。

　　（6）黛安娜所买糖果的块数同她母亲所买纪念品的件数相等。

　　（7）黛安娜给她妹妹买的糖果块数最多。

　　三个女孩中，谁是黛安娜的妹妹？

　　（提示：根据(1)、(2)、(5)、(6)可列出五个方程。根据(4)所列出的三个方程，只有一个是正确的。在这些方程中各个量的和与积是奇数还是偶数，应予考虑。）

　　答　案

　　设P=黛安娜所带的1美分硬币和枚数，

　　N=黛安娜所带的5美分硬币和枚数，

　　Q=黛安娜所带的25美分硬币和枚数，

　　T=黛安娜为买糖果所花的总钱数(以美分为单位)，

　　a=为奥尔西娅所买的糖果的块数，

　　b=为布莱思所买的糖果的块数，

　　c=为卡丽所买的糖果的块数，

　　d=母亲所买的纪念品的单价（以美分为单位），

　　F=母亲所买的纪念品的件数。

　　以上各数都是正整数。

　　根据（1）：（la）P+N+Q＝13，

　　（1b)P+5N+25Q＝T.

　　根据（2）：（2）2a+3b+6c＝T。

　　根据（3）：（3）a、b、c各不相同而且都大于1。

　　根据（4）：（4）或者2a＝3b，或者2a＝6c，或者3b＝6c。

　　根据（5）：（5）F×d＝480。

　　根据（6）：（6）a+b+C＝F。

　　根据（7），问题可以重新表述为：

　　（7）a、b、c中哪一个最大？

　　这里一共有六个方程和九个未知数，第四个方程是三个可能的方程中的一个。方程太多，无法仅用代数方法求解，因此除了各数都是正整数这一特点之外，必须再寻找其他特点。

　　我们知道：两个奇数之和总是偶数，

　　两个偶数之和总是偶数，

　　一个奇数与一个偶数之和总是奇数。

　　而且知道：两个奇数之积总是奇数，

　　两个偶数之积总是偶数，

　　一个奇数与一个偶数之积总是偶数。

　　根据这些规律，在方程（1a）中，或是P、N、Q三者都是奇

　　数，或是这三个数中只有一个是奇数。无论是这两种情况中的哪一种，（1b）中的T总是奇数。于是方程（2）中的b是奇数。这样，在方程（4）中，2a不能等于3b，因为2a是偶数而3b是奇数。3b也不能等于6c，因为6c是偶数而3b是奇数。因此2a＝6c。(至此，已经知道c不是最大的数，因为a必定大于c。）两边除以2，得a＝3c。代入方程（6），得b+4c＝F。

　　由于b是奇数，所以在b+4c＝F中，F是奇数。在方程（5）中，480是两个数的乘积，其中一个是奇数（F），另一个是偶数（d）。在这个乘积中，F可能取的奇数值只有l、3、5或15。F等于1或3是不可能的，因为在b+4c＝F中，b和c必须是正整数。根据（3）(b和c不能等于1），F也不等于5。因此，F必定等于15。

　　于是b＋4c＝15，而C不能大于3或者小于1。根据（3），C不能等于1，也不能等于3否则b也等于3）。所以C必定等于2。从而b＝7。根据前面得出的a＝3c，所以a＝6。因此b是最大的数。这样，根据（7），布莱思是黛安娜的妹妹。

　　其他各值可以求解如下。因为F＝15，所以根据（5），d＝32。由于a＝6，b＝7，c＝2，所以根据（2），T＝45。从（1b）减去

　　（la）得出4N+240＝32。两边除以4，得N+6Q＝8。Q不能大于1（否则N将是负数），也不能小于1（因为根据（l），黛安娜有25美分的硬币），因此Q＝l。于是N＝2。于是根据（la），P＝10。

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