高二数学不等式的解法讲解

[10-19 22:41:23] 来源：http://www.kgf8.com 高二数学学习指导 阅读：8413次

概要：小编寄语：不等式是高二数学学习的部分，不等式的解法是高二数学不等式内容中的一个基础知识点，只有掌握了不等式的解法知识点，才能进行不等式下一步的学习，否则则无法学好不等式其他部分知识。下面小编为大家提供高二数学不等式的解法讲解，供大家参考。学法导引本节要求在熟练掌握一元一次、一元二次不等式的解法的基础上，会解有理不等式和含绝对值的不等式及其他的不等式.关键要善于根据有关性质或定理，把它等价变形为一元一次、一元二次不等式(组).必须注意的是，每一步变形，都应是不等式的等价变形.因此，在解不等式中，“一元一次、一元二次不等式的解法是基础，等价变形是灵魂”.解高次不等式，常用数轴标根法;解含参数的不等式，要注意分类讨论，且分类讨论后的解集一般要分别写出;用零点分段法求含绝对值不等式的解集时，最后应把各段的解集合并.知识要点精讲2.高次不等式的解法解简单的高次不等式，应对所给不等式进行同解变形，变为一边为0，另一边为若干个一次因式之积的形式：(4)含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用“找零点分区间讨论”的方法即零点分段法求

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　　小编寄语：不等式是高二数学学习的部分，不等式的解法是高二数学不等式内容中的一个基础知识点，只有掌握了不等式的解法知识点，才能进行不等式下一步的学习，否则则无法学好不等式其他部分知识。下面小编为大家提供高二数学不等式的解法讲解，供大家参考。

　　学法导引

　　本节要求在熟练掌握一元一次、一元二次不等式的解法的基础上，会解有理不等式和含绝对值的不等式及其他的不等式.关键要善于根据有关性质或定理，把它等价变形为一元一次、一元二次不等式(组).必须注意的是，每一步变形，都应是不等式的等价变形.因此，在解不等式中，“一元一次、一元二次不等式的解法是基础，等价变形是灵魂”.

　　解高次不等式，常用数轴标根法;解含参数的不等式，要注意分类讨论，且分类讨论后的解集一般要分别写出;用零点分段法求含绝对值不等式的解集时，最后应把各段的解集合并.

　　知识要点精讲

　　2.高次不等式的解法

　　解简单的高次不等式，应对所给不等式进行同解变形，变为一边为0，另一边为若干个一次因式之积的形式：

　　(4)含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用“找零点分区间讨论”的方法即零点分段法求解.

　　思维整合

　　【重点】　本节的重点是有理不等式和含绝对值不等式的解法，其基础又是一元一次、一元二次不等式的解　　法.学习时要深刻理解不等式的等价变形的本质，熟练掌握一元一次、一元二次不等式的解法，只有这样，解题时才能灵活自如.

　　【难点】　本节的难点是解含有参数的不等式.由于参数的取值不同，会导致解集的形式的不同，所以应对参数的取值进行分类讨论.通常根据参数的取值对最高次项的系数的符号，根与根的大小以及不等号的影响来分类讨论.

　　【易错点】　1.不等式的变形过程不是等价变形的过程;2.对于含有参数的不等式，不能正确合理地进行分类讨论.

　　精典例题再现

　　(2)对应的一元二次方程是否有实根与k的值有关，通过对判别式Δ的值的分析可求解.

　　点拨　解一元二次不等式的一般步骤可概括为：(1)判断其对应的方程是否有根，若有，则求出根;(2)判断根的大小关系;

　　对于含有多个绝对值的不等式，常依据每个绝对值为零的点，将整个实数集划分为若干个区间，然后在每个区间内，通过讨论去掉绝对值符号，求出相应的解，最后求出所有解集的并集.这种方法被称之为零点分段法.求解时不能遗漏了各区间的端点的值.

　　例4　(1)解不等式|x+1|-|x-2|<1;

　　(2)若关于x的不等式|x+1|+|x-2|>k的解集为R，求k的取值范围.

　　[解析]　本例中的不等式具有鲜明的几何特征，可以依据绝对值的几何意义来求解.

　　[解]　(1)∵　|x+1|-|x-2|表示数轴上实数x对应的点到-1对应的点的距离与到2对应的点的距离之差(如图6-4-1).

　　易知，当x=1时，|x+1|-|x-2|=1;若x>1时，|x+1|-|x-2|>1;当x<1时，|x+1|-|x-2|<1.因此，原不等式的解集为{x|x<1｝.

　　(2)∵　|x+1|+|x-2|表示数轴上实数x对应的点到-1对应点的距离与到2对应的点的距离之和.

　　由图6-4-1知，当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|=3，而当x<-1或x>2时，|x+1|+|x-2|>3，所以|x+1|+|x-2|的最小值为3.因此，当且仅当k<3时，不等式|x+1|+|x-2|>k的解集为R.故k的取值范围是(-∞，3).

　　点拨　对形如|x-a|+|x-b|c的不等式，由于它们分别表示数轴上的点x到a、b点的距离之和或距离之差，因此可利用其几何意义来求解.此外，还可以用零点分段法求解.涉及此类不等式的选择题、填空题用前者求解更方便.

　　[解析]　先对所给不等式作等价变形，然后用数轴标根法可解.

　　点拨　数轴标根法是解高次不等式和分式不等式(统称为有理不等式)的最简明的方法.其一般步骤是：先将不等式化成标准形式，即一端为0，一端为若干个一次因式之积的形式，然后在数轴上依次标出各因式的根(不必计较长度单位是否一致)，从最右上方开始画曲线，自右至左依次穿过各根对应的点，当曲线位于数轴上方时，表示各因式之积为正，曲线位于数轴下方时，则表示各因式之积为负，由此可写出已知不等式的解集.

　　必须注意的是：(1)各因式中x的系数都要为正1;(2)各因式都应是一次因式;(3)对于分式不等式要限定分母不能为零.

　　[解析]　原不等式可转化为高次不等式，利用数轴标根法可解.

　　[解]　原不等式等价于(x-a)(x-1)(x+1)<0或x-a=0.当a<-1时，由图6-4-4知，原不等式的解集为{x|x≤a或-1

　　当-1

　　当a>1时，由图6-4-6知，原不等式的解集为{x|x<-1或1

　　点拨　一般地，含有参数的不等式中，参数的取值会影响到最高次项的系数的符号，也会影响到所对应的方程是否有根及根的大小关系，这些都会影响到解集的不同，所以要对参数的值进行分类讨论.常根据最高次项系数的　　符号，有没有实根及根的大小来分类.

　　[解析]　通过解不等式，对集合A、A∪B及A∩B均可化简.然后利用数轴，由A∩B与A∪B来认知集合B，从而求出a、b.

　　[解]∵A=

　　点拨　涉及几个不等式的解集的交或并或包含关系的问题，应利用数轴，将它们直观地反映出来，以利于问题的解决.

　　另外，对于集合C，由于它不易直接化简，故联系起相应的二次函数的图象，从图象中来探求m应具备的条件.这种方法是解决与此类似问题的有效方法.

　　[错解分析]　解分式不等式不能去分母(除非已知分母的值恒正)，否则会导致解集发生变化;用数轴标根法时，必须将原不等式化为一边为0，另一边为一次因式之积的形式，其中各因式中x的系数应是+1.

　　[错解分析]　根据不等式的性质，只有当一个不等式两边均为非负数，才能对两边进行平方，否则所得不等式与原不等式不等价.