中学趣味数学:三个城市

概要： 阿灵顿、布明汉和坎顿韦尔这三个城市，它们的形状都呈长方形。(1)每个城市沿边界街段（指两条平行街道之间的一段街道）的数目都是整数，而且市内街段总是都与沿边界的街段平行。(2)沿城市北部边界的街段的数目，阿灵顿最少，布明汉比阿灵顿多3段，坎顿韦尔又比布明汉多3段。(3)有两个城市，它们市内街段的数目，等于沿整个边界的街段的数目。哪个城市其市内街段的数目不等于沿整个边界的街段的数目？（提示：列出表示一个城市沿整个边界的街段的数目的代数式和表示市内街段的数目的代数式；然后求出使两者相等的整数解。）答案如上图所示，对于{(3)有两个城市，它们市内街段的数目，等于沿整个边界的街段的数目。}中所指的两个城市，以X代表其长方形城区一条边界上的街段数目，以Y代表另一条边界上的街段数目。于是整个边界的街段数目等于X+Y+X+Y，即2X＋2Y而市内街段的数目等于X（Y-1）+Y（X－l），即（XY－X）＋（XY－Y）根据(3)，对于两个城市而言2X＋2Y＝XY-X+XY－Y解出X，X＝3Y／（2Y—3），解出Y，Y＝3X／（2X－3）。这表明X和Y都得大于l。依次设

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    阿灵顿、布明汉和坎顿韦尔这三个城市，它们的形状都呈长方形。

　　(1)每个城市沿边界街段（指两条平行街道之间的一段街道）的数目都是整数，而且市内街段总是都与沿边界的街段平行。

　　(2)沿城市北部边界的街段的数目，阿灵顿最少，布明汉比阿灵顿多3段，坎顿韦尔又比布明汉多3段。

　　(3)有两个城市，它们市内街段的数目，等于沿整个边界的街段的数目。　

　　哪个城市其市内街段的数目不等于沿整个边界的街段的数目？

　　

　　

　　（提示：列出表示一个城市沿整个边界的街段的数目的代数式和表示市内街段的数目的代数式；然后求出使两者相等的整数解。）

　　答　案
　　　

　　如上图所示，对于{(3)有两个城市，它们市内街段的数目，等于沿整个边界的街段的数目。}中所指的两个城市，以X代表其长方形城区一条边界上的街段数目，以Y代表另一条边界上的街段数目。于是整个边界的街段数目等于

　　X+Y+X+Y，即2X＋2Y

　　而市内街段的数目等于

　　X（Y-1）+Y（X－l），即（XY－X）＋（XY－Y）

　　根据(3)，对于两个城市而言

　　2X＋2Y＝XY-X+XY－Y

　　解出X，

　　X＝3Y／（2Y—3），

　　解出Y，

　　Y＝3X／（2X－3）。

　　这表明X和Y都得大于l。依次设Y为2、3、4、5、6和7，得出下列数值：

　　YX

　　26

　　33

　　412/5

　　57/15

　　62

　　721/11

　　既然X必须大于1，而且根据{(1)每个城市沿边界街段（指两条平行街道之间的一段街道）的数目都是整数，而且市内街段总是都与沿边界的街段平行。}必须是整数，那么除了上列中的整数之外，X再也没有别的整数值了。

　　根据（l）和上列数值，这两个城市沿一侧边界的街段数目都

　　是2、3或6。根据{(2)沿城市北部边界的街段的数目，阿灵顿最少，布明汉比阿灵顿多3段，坎顿韦尔又比布明汉多3段。}，沿北部边界，阿灵顿有3个街段，布明汉有6个街段，坎顿韦尔有9个街段。

　　由于沿北部边界有9个街段的城市，不可能满足表示条件（3）的方程，所以坎顿韦尔就是那个市内街段数目不等于沿边界街段数目的城市。

　　总而言之，阿灵顿的沿边界街段和市内街段的数目都是12，而布明汉的这两个数目都是16。

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