中学趣味数学:书架

概要： 图书馆馆长德雷克女士问她的三位助手，在某层书架上可以并排平放多少本书。她得到的回答是：阿斯特女士：这层书架正好可以用2本图书目录、3本字典和3本百科全书放满。布赖斯女士：这层书架正好可以用4本图书目录、3本字典和2本百科全书放满。克兰女士：这层书架正好可以用4本图书目录、4本字典和3本百科全书放满。（1）只有两位助手的回答是正确的。（2）如果用同一类图书放，德雷克女士发现只有一类图书能正好放满这层书架。（3）要正好放满这层书架，需要这类图书15本。（4）所有的图书目录开本相同，所有的字典开本相同，所有的百科全书开本相同。假设这三类图书并排平放时相邻两本书的间距都可以忽略不计，那么，用哪类图书可正好放满这层书架？（提示：用代数式表示书架的宽度以及15本同类图书并排平放时的总宽度。根据三位女士的回答，将导出包含书架宽度和每类图书并排平放时的总宽度的三对方程；其中只有一对方程可解出取正值的各类图书宽度。能够正好放满书架的那类图书的宽度不能是其他两类图书中任何一类图书宽度的倍数。）答案运用(4)，设：c=一本图书目录的宽度，d=一本字典的宽度，e=一本百科全书的宽度

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    图书馆馆长德雷克女士问她的三位助手，在某层书架上可以并排平放多少本书。她得到的回答是：

　　阿斯特女士：这层书架正好可以用2本图书目录、3本字典和3本百科全书放满。

　　布赖斯女士：这层书架正好可以用4本图书目录、3本字典和2本百科全书放满。

　　克兰女士：这层书架正好可以用4本图书目录、4本字典和3本百科全书放满。

　　（1）只有两位助手的回答是正确的。

　　（2）如果用同一类图书放，德雷克女士发现只有一类图书能正好放满这层书架。

　　（3）要正好放满这层书架，需要这类图书15本。

　　（4）所有的图书目录开本相同，所有的字典开本相同，所有的百科全书开本相同。

　　假设这三类图书并排平放时相邻两本书的间距都可以忽略不计，那么，用哪类图书可正好放满这层书架？

　　（提示：用代数式表示书架的宽度以及15本同类图书并排平放时的总宽度。根据三位女士的回答，将导出包含书架宽度和每类图书并排平放时的总宽度的三对方程；其中只有一对方程可解出取正值的各类图书宽度。能够正好放满书架的那类图书的宽度不能是其他两类图书中任何一类图书宽度的倍数。）

　　　答　案

　　运用(4)，设：

　　c=一本图书目录的宽度，

　　d=一本字典的宽度，

　　e=一本百科全书的宽度，

　　x=书架的宽度。

　　于是，根据每位助手的回答，相应有：

　　（A）阿斯特：2c＋3d＋3e＝x，

　　（B）布赖斯：4c＋3d＋2e＝x，

　　（C）克兰：4c＋4d＋3e＝x。

　　从（C）减去（A），得：2c＋d＝0，从而d＝-2c，这不可能。

　　从（C）减去（B），得：d＋e＝0，从而d=-c，这不可能。

　　从（B）减去（A），得：2c－e＝0，从而e＝2c，这是可能。

　　由于用（C）同（A）和（B）联立得出的解都导致不可能的情况，所以克兰女士的回答是错误的。于是，根据{（1）只有两位助手的回答是正确的。}方程(A）和（B）是正确的，e＝2c。

　　根据(3），如果是15本百科全书能正好放满这层书架，那么

　　30本图书目录也能正好放满这层书架。因此，根据(2)，百科全书不能正好放满这层书架。　　

　　如果是15本字典能正好放满这层书架，那么运用（A）（也可以运用（B））以及e＝2c，可得：　　

　　2c+3d+3e=x，

　　e+3d+3e＝x，

　　3d+4e＝x，

　　3d+4e＝15d，

　　4e＝12d，

　　e＝3d。

　　根据{（3）要正好放满这层书架，需要这类图书15本。}，如果是15本字典能正好放满这层书架，那么5本百科全书也能正好放满这层书架。因此，根据{（2）如果用同一类图书放，德雷克女士发现只有一类图书能正好放满这层书架。}，字典不能正好放满这层书架。

　　于是，只有图书目录能正好放满这层书架。

　　运用（A）（也可以运用（B)以及e＝2c，可得：

　　2c+3d+3e=x,

　　2c+3d+6c=x,

　　3d+8c=x,

　　3d+8c=15c,

　　3d=7c, .

　　既然15本图书目录能正好放满这层书架，那么百科全书就不能正好放满这层书架，因为根据e=2c，书架的宽度相当于本百科全书的总宽度。字典也不能正好放满这层书架，因为根据，书架的宽度相当于本字典的总宽度。

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